Τα αριθμητικά παζλ ανταμείβουν τον πειραματισμό, αλλά ο πειραματισμός είναι μόνο η αρχή. Μερικά επιτυχημένα παραδείγματα υποδηλώνουν μια εικασία· δεν αποδεικνύουν ότι το επόμενο παράδειγμα θα επιβεβαιώσει την ίδια. Οι πιο ικανοποιητικές λύσεις εντοπίζουν μια δομή που παραμένει αμετάβλητη σε κάθε επιτρεπτό βήμα. Οι μαθηματικοί ονομάζουν μια τέτοια διατηρούμενη ιδιότητα αναλλοίωτο. Μερικές φορές η χρήσιμη δομή είναι ακόμη απλούστερη: μια αντιστοίχιση σε ζεύγη, ένα υπόλοιπο ή ο τρόπος με τον οποίο τα ψηφία κωδικοποιούν την αξία θέσης.
Εκατό ντουλαπάκια, μία αποφασιστική παρατήρηση
Φανταστείτε 100 κλειστά ντουλαπάκια αριθμημένα από το 1 έως το 100. Στην πρώτη διέλευση, αλλάζετε την κατάσταση κάθε ντουλαπιού. Στη δεύτερη, αλλάζετε κάθε δεύτερο. Στην τρίτη, αλλάζει η κατάσταση κάθε τρίτου, και συνεχίζετε μέχρι τη διέλευση 100. Η αλλαγή σημαίνει ότι ανοίγετε ένα κλειστό ντουλάπι ή κλείνετε ένα ανοιχτό. Πόσα ντουλαπάκια είναι ανοιχτά στο τέλος;
Μην προσομοιώσετε αμέσως και τις 100 διελεύσεις. Εστιάστε στο ντουλάπι 12. Αλλάζει στις διελεύσεις 1, 2, 3, 4, 6 και 12: ακριβώς στους θετικούς διαιρέτες του 12. Έξι αλλαγές το επαναφέρουν στην αρχική κλειστή κατάσταση. Το παζλ, επομένως, δεν αφορά πραγματικά τις πόρτες. Ρωτά ποιοι θετικοί ακέραιοι έχουν περιττό πλήθος θετικών διαιρετών.
Η σειρά σας
Υπόδειξη: ζευγαρώστε τους διαιρέτες
Για κάθε διαιρέτη d του n, ζευγαρώστε τον με το n ÷ d. Πότε τα δύο μέλη ενός ζεύγους μπορούν να είναι ο ίδιος αριθμός;
Εμφανίστε την απόδειξη
Οι διαιρέτες εμφανίζονται συνήθως σε διακριτά ζεύγη. Ένα τέλειο τετράγωνο έχει έναν διαιρέτη χωρίς ζεύγος, τη τετραγωνική του ρίζα. Μόνο τα τέλεια τετράγωνα έχουν περιττό πλήθος διαιρετών, οπότε τα ντουλάπια 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 και 100 μένουν ανοιχτά.
Αυτό το επιχείρημα γενικεύεται χωρίς επιπλέον λογιστική. Για N ντουλάπια, το πλήθος εκείνων που μένουν ανοιχτά είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει το √N. Αυτή η γενική διατύπωση είναι ισχυρότερη από έναν κατάλογο δέκα επιτυχημένων περιπτώσεων. Αποκαλύπτει επίσης τις βασικές υποθέσεις: κάθε ντουλάπι ξεκινά κλειστό, κάθε καταγεγραμμένο πέρασμα γίνεται μία φορά και κάθε επίσκεψη αλλάζει την κατάσταση (ανοίγει ή κλείνει) αντί να την ανοίγει απλώς.
Το κόλπο του 1089, χωρίς μυστικισμό
Επιλέξτε έναν τριψήφιο αριθμό του οποίου το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο διαφέρουν κατά τουλάχιστον δύο. Γράψτε τον ανάποδα και αφαιρέστε τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο. Θεωρήστε το αποτέλεσμα ως τρεις θέσεις ψηφίων, γράψτε το ανάποδα και προσθέστε. Το αποτέλεσμα είναι 1089. Ένας μάγος της σκηνής μπορεί να το παρουσιάσει ως ανάγνωση σκέψεων, ενώ η άλγεβρα της θέσης του ψηφίου δίνει μια πιο ενδιαφέρουσα εξήγηση.
Γράψτε τον μεγαλύτερο αρχικό αριθμό ως 100a + 10b + c, με a μεγαλύτερο από c. Αφαιρώντας τον ανάποδό του μένει 99(a − c). Το μεσαίο ψηφίο b εξαφανίζεται εντελώς. Έστω d = a − c. Σύμφωνα με τον δηλωμένο κανόνα, το d είναι ένας από τους αριθμούς 2 έως 9. Τα τρία ψηφία του 99d είναι τα d − 1, έπειτα 9 και έπειτα 10 − d. Αντιστρέφοντας αυτά τα ψηφία και προσθέτοντάς τα προκύπτει 100 × 9 + 180 + 9, δηλαδή 1089.
Ο περιορισμός έχει σημασία. Αν τα εξωτερικά ψηφία ταυτίζονται, η αφαίρεση δίνει μηδέν. Αν διαφέρουν κατά ένα, η διαφορά είναι 99, και το κόλπο απαιτεί να γραφτεί ως 099 πριν αντιστραφεί. Μια προσεκτική λύση δηλώνει αυτές τις συμβάσεις αντί να τις κρύβει μετά από ένα αντιπαράδειγμα. Είναι χρήσιμη συνήθεια όποτε ένα παζλ αφορά ψηφία αντί για αφηρημένους ακεραίους.
Χρησιμοποιήστε τα υπόλοιπα για να περιορίσετε την αναζήτηση
Η modular αριθμητική παρακολουθεί τι μένει μετά από μια διαίρεση. Σε ένα ρολόι, η πρόσθεση δώδεκα ωρών αλλάζει τον χρόνο που έχει περάσει, αλλά όχι την ώρα που εμφανίζεται. Με το ίδιο πνεύμα, το τελευταίο ψηφίο ενός ακεραίου αριθμού μάς δείχνει το υπόλοιπό του modulo 10. Η γλώσσα μπορεί να ακούγεται προχωρημένη, αλλά η βασική κίνηση είναι απλώς να αγνοήσουμε την πληροφορία που δεν χρειάζεται η ερώτηση.
Για παράδειγμα, μπορεί ένα ακέραιο τετράγωνο να τελειώνει σε 2; Ελέγξτε τα δέκα πιθανά τελικά ψηφία του αρχικού ακεραίου, από το 0 έως το 9. Τα τετράγωνά τους τελειώνουν σε 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 και 1. Κανένα δεν τελειώνει σε 2. Αυτός ο πεπερασμένος έλεγχος αποτελεί απόδειξη, επειδή κάθε ακέραιος ανήκει σε μία από αυτές τις δέκα κλάσεις υπολοίπων. Δεν ισοδυναμεί όμως με τον έλεγχο των πρώτων δέκα θετικών ακεραίων με την ελπίδα ότι το μοτίβο θα συνεχιστεί.
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν ιστορικό θεμέλιο για τα επιχειρήματα διαιρετότητας, ενώ το βιβλίο Εισαγωγή στη Θεωρία των Αριθμών των G. H. Hardy και E. M. Wright αναπτύσσει το θέμα πολύ περισσότερο. Για ψυχαγωγική εξερεύνηση, τα μαθηματικά κείμενα του Μάρτιν Γκάρντνερ αποτελούν χρήσιμη γέφυρα ανάμεσα σε παιγνιώδη παραδείγματα και αυστηρά ερωτήματα. Πρόκειται για προτάσεις ανάγνωσης, όχι για πηγές επίσημης κατάταξης δυσκολίας.
Μια επαναλήψιμη διαδικασία για αριθμητικά παζλ
Ξεκινήστε με ένα μικρό παράδειγμα και καταγράψτε τι αλλάζει πραγματικά. Στη συνέχεια αναρωτηθείτε αν η ισοτιμία, ένα υπόλοιπο, ένα άθροισμα ή το πλήθος των διαιρετών καθορίζει το αποτέλεσμα. Μεταφράστε τις παρατηρήσεις σε σύμβολα μόνο όταν αυτό κάνει τη δομή πιο σαφή. Τέλος, ελέγξτε τα όρια: το μηδέν, τα επαναλαμβανόμενα ψηφία, οι αρνητικές τιμές ή μια απούσα πράξη μπορεί να ακυρώσουν έναν κατά τα άλλα ελκυστικό ισχυρισμό.
Όταν ένα αριθμητικό μοτίβο φαίνεται αναπόφευκτο, προσπαθήστε να το ανατρέψετε πριν ανακοινώσετε την επιτυχία. Ένα μόνο αντιπαράδειγμα μπορεί να διαψεύσει μια καθολική πρόταση. Αν δεν εμφανιστεί κανένα αντιπαράδειγμα, εξηγήστε γιατί οι περιπτώσεις που εξετάσατε καλύπτουν κάθε δυνατότητα. Αυτή η μετατόπιση, από το «συμβαίνει συνέχεια» στο «δεν μπορεί να συμβεί αλλιώς», είναι το σημείο όπου ένα κόλπο με αριθμούς γίνεται μαθηματικά.