Lukupulmat palkitsevat kokeilusta, mutta kokeilu on vasta alku. Muutama onnistunut esimerkki viittaa oletukseen; se ei osoita, että seuraavan esimerkin on toimittava. Tyydyttävimmät ratkaisut tunnistavat rakenteen, joka säilyy jokaisessa sallitussa vaiheessa. Matemaatikot kutsuvat tällaista säilyvää ominaisuutta invariantiksi. Joskus hyödyllinen rakenne on vielä yksinkertaisempi: pari, jakojäännös tai tapa, jolla numerot koodaavat paikka-arvoa.
Sata lokeroa, yksi ratkaiseva havainto
Kuvittele 100 suljettua lokeroa numeroituina 1:stä 100:aan. Ensimmäisellä kierroksella käännät jokaisen lokeron. Toisella kierroksella käännät joka toisen lokeron. Kolmannella kierroksella joka kolmannen lokeron tila vaihtuu. Jatka 100. kierrokselle asti. Kääntäminen tarkoittaa suljetun lokeron avaamista tai avoimen sulkemista. Kuinka monta lokeroa on avoinna lopussa?
Älä simuloi kaikkia 100 kierrosta heti. Keskity lokeroon 12. Se vaihtuu kierroksilla 1, 2, 3, 4, 6 ja 12: täsmälleen luvun 12 positiiviset jakajat. Kuusi muutosta palauttaa sen alkuperäiseen suljettuun tilaansa. Pulma ei siis todellakaan koske ovia. Se kysyy, millä positiivisilla kokonaisluvuilla on pariton määrä positiivisia jakajia.
Sinun vuorosi
Vihje: pariuta jakajat
Jokaiselle n:n jakajalle d, pariuta se luvun n ÷ d kanssa. Milloin parin kaksi jäsentä voivat olla sama luku?
Näytä todistus
Tekijät esiintyvät yleensä pareittain. Täydellisellä neliöllä on yksi pariton tekijä, sen neliöjuuri. Vain täydellisillä neliöillä on pariton tekijämäärä, joten lokerot 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ja 100 jäävät auki.
Tämä päättely toimii ilman ylimääräistä kirjanpitoa. N lokeron tapauksessa auki jäävien lukumäärä on suurin kokonaisluku, joka ei ylitä lukua √N. Tämä yleinen väite on vahvempi kuin luettelo kymmenestä onnistuneesta tuloksesta. Se myös paljastaa keskeiset oletukset: jokainen lokero alkaa kiinni, jokainen luetelluista kierroksista tapahtuu kerran ja jokainen käynti kääntää lokeron tilan eikä vain avaa sitä.
Temppu 1089 ilman mystiikkaa
Valitse kolminumeroinen luku, jonka ensimmäinen ja viimeinen numero eroavat toisistaan vähintään kahdella. Käännä luku toisinpäin ja vähennä pienempi luku suuremmasta. Käsittele tulosta kolmena numeropaikkana, käännä se toisinpäin ja laske yhteen. Tulos on 1089. Esiintyjä voi esittää tämän ajatustenlukuna, mutta paikkoihin perustuva algebra antaa mielenkiintoisemman selityksen.
Kirjoita suurempi alkuluku muodossa 100a + 10b + c, missä a on suurempi kuin c. Sen käänteisluvun vähentäminen jättää jäljelle 99(a − c). Keskinumero b katoaa kokonaan. Olkoon d = a − c. Annettujen sääntöjen mukaan d on jokin luvuista 2–9. Luvun 99d kolme numeroa ovat d − 1, sitten 9 ja sitten 10 − d. Kun nämä numerot käännetään ja lasketaan yhteen, tuloksena on 100 × 9 + 180 + 9, eli 1089.
Rajoituksella on merkitystä. Jos ulommat numerot ovat samat, vähennyslasku antaa nollan. Jos ne eroavat yhdellä, erotus on 99, ja temppu edellyttää sen kirjoittamista muodossa 099 ennen kääntämistä. Huolellinen ratkaisu kertoo nämä käytännöt eikä piilota niitä vasta vastaesimerkin jälkeen. Tämä on hyödyllinen tapa aina, kun pulma koskee numeroita eikä abstrakteja kokonaislukuja.
Käytä jakojäännöksiä hakualueen pienentämiseen
Modulaarinen aritmetiikka seuraa, mitä jää jäljelle jakolaskun jälkeen. Kellossa kahdentoista tunnin lisääminen muuttaa kulunutta aikaa mutta ei näytettävää tuntia. Samalla tavalla kokonaisluvun viimeinen numero kertoo sen jakojäännöksen modulo 10. Termistö voi kuulostaa vaativalta, mutta taustalla oleva ajatus on yksinkertainen: unohdetaan tieto, jota kysymys ei tarvitse.
Esimerkiksi: voiko kokonaisluvun neliö päättyä numeroon 2? Tarkista alkuperäisen kokonaisluvun kymmenen mahdollista viimeistä numeroa 0:sta 9:ään. Niiden neliöt päättyvät numeroihin 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 ja 1. Yksikään ei pääty numeroon 2. Tämä äärellinen tarkistus on todistus, koska jokainen kokonaisluku kuuluu johonkin näistä kymmenestä jakojäännösluokasta. Se ei ole sama asia kuin testata kymmentä ensimmäistä positiivista kokonaislukua ja toivoa, että kuvio jatkuu.
Eukleideen teos Elements tarjoaa historiallisen perustan jaollisuutta koskeville päättelyille, kun taas G. H. Hardyn ja E. M. Wrightin teos An Introduction to the Theory of Numbers käsittelee aihetta paljon pidemmälle. Virkistävään tutkimiseen Martin Gardnerin matemaattiset kirjoitukset ovat hyvä silta leikkisien esimerkkien ja tarkkojen kysymysten välillä. Nämä ovat lukuvinkkejä, eivät virallisen vaikeusjärjestyksen lähteitä.
Toistettava rutiini numeropulmille
Aloita pienellä esimerkillä ja kirjaa ylös, mikä todella muuttuu. Kysy sitten, ratkaiseeko parillisuus, jakojäännös, summa vai tekijämäärä lopputuloksen. Muunna havainnot symboleiksi vain silloin, kun se tekee rakenteesta selkeämmän. Lopuksi testaa rajatapaukset: nolla, toistuvat numerot, negatiiviset arvot tai puuttuva laskutoimitus voivat kumota muuten houkuttelevan väitteen.
Kun numeerinen kuvio näyttää väistämättömältä, yritä rikkoa se ennen kuin ilmoitat onnistuneesi. Yksi vastaesimerkki voi kumota yleisen väitteen. Jos vastaesimerkkiä ei löydy, selitä, miksi tarkastelemasi tapaukset kattavat kaikki mahdollisuudet. Tämä siirtymä – ”se toistuu jatkuvasti” → ”se ei voi tapahtua muuten” – on kohta, jossa lukutemppu muuttuu matematiikaksi.