Tallgåter belønner eksperimentering, men eksperimentering er bare begynnelsen. Noen vellykkede eksempler antyder en formodning; de viser ikke at neste eksempel må fungere. De mest tilfredsstillende løsningene finner en struktur som overlever hvert tillatt steg. Matematikere kaller en slik bevart egenskap for en invariant. Noen ganger er den nyttige strukturen enda enklere: en paring, en rest, eller måten sifrene koder posisjonsverdi på.
Hundre skap, én avgjørende observasjon
Tenk deg 100 lukkede skap nummerert fra 1 til 100. Ved første runde veksler du tilstanden til alle skapene. Ved andre runde veksler du hvert andre skap. Ved tredje runde endrer hvert tredje skap tilstand. Fortsett til runde 100. Å veksle betyr å åpne et lukket skap eller lukke et åpent. Hvor mange skap er åpne til slutt?
Ikke simuler alle 100 rundene med én gang. Fokuser på skap 12. Det endres i runde 1, 2, 3, 4, 6 og 12, altså nøyaktig de positive divisorene til 12. Seks endringer bringer det tilbake til sin opprinnelige lukkede tilstand. Gåten handler derfor egentlig ikke om dører. Den spør hvilke positive heltall som har et oddetall positive divisorer.
Din tur
Hint: par divisorene
For hver divisor d av n, par den med n ÷ d. Når kan de to medlemmene i et par være samme tall?
Vis beviset
Delere forekommer vanligvis i par. Et perfekt kvadrat har én uparret deler, nemlig kvadratroten. Bare perfekte kvadrater har et oddetall av delere, så skapene 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 og 100 står åpne.
Dette resonnementet skalerer uten ekstra regnskap. For N skap er antallet som står åpne det største heltallet som ikke overstiger √N. Denne generelle påstanden er sterkere enn en liste med ti vellykkede utfall. Den viser også de grunnleggende forutsetningene: alle skap starter lukket, hvert oppgitt besøk skjer én gang, og hvert besøk veksler tilstanden i stedet for bare å åpne.
Triksen med 1089, uten mystikken
Velg et tresifret tall der første og siste siffer skiller seg med minst to. Snu tallet og trekk det minste fra det største. Behandle resultatet som tre sifferposisjoner, snu det og legg sammen. Resultatet er 1089. En scenekunstner kan presentere dette som tankelesing, men posisjonsverdialgebra gir en mer interessant forklaring.
Skriv det største startallet som 100a + 10b + c, der a er større enn c. Når du trekker fra det reverserte tallet, står du igjen med 99(a − c). Mellomsifferet b forsvinner helt. La d = a − c. Under den oppgitte regelen er d et av tallene 2 til 9. De tre sifrene i 99d er d − 1, deretter 9, og deretter 10 − d. Når du snur disse sifrene og legger sammen, får du 100 × 9 + 180 + 9, som er 1089.
Begrensningen er viktig. Hvis de ytterste sifrene er like, gir subtraksjonen null. Hvis de skiller seg med én, er differansen 99, og trikset krever at du skriver den som 099 før du snur. En nøyaktig løsning oppgir disse konvensjonene i stedet for å skjule dem etter et moteksempel. Dette er en nyttig vane når en oppgave handler om siffer i stedet for abstrakte heltall.
Bruk rester for å begrense søket
Modulær aritmetikk holder styr på det som er igjen etter divisjon. På en klokke endrer tolv timer den forløpte tiden, men ikke timen som vises. På samme måte forteller det siste sifferet i et heltall resten modulo 10. Språket kan virke avansert, men den underliggende tanken er enkel: å glemme informasjon som spørsmålet ikke trenger.
Kan for eksempel et heltall i annen ende på 2? Sjekk de ti mulige sluttsifrene til det opprinnelige heltallet, fra 0 til 9. Kvadratene deres ender på 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 og 1. Ingen ender på 2. Denne endelige sjekken er et bevis fordi hvert heltall tilhører en av disse ti restklassene. Det er ikke det samme som å teste de ti første positive heltallene og håpe at et mønster fortsetter.
Euklids Elementer gir et historisk grunnlag for argumenter om delbarhet, mens G. H. Hardy og E. M. Wrights An Introduction to the Theory of Numbers utvikler faget langt videre. For rekreasjonsmatematikk er Martin Gardners matematiske skrifter en nyttig bro mellom lekne eksempler og strenge spørsmål. Dette er leseforslag, ikke kilder til en offisiell rangering av vanskelighetsgrad.
En rutine for tallgåter du kan gjenta
Begynn med et lite eksempel og noter hva som faktisk endrer seg. Spør deretter om paritet, en rest, en sum eller et antall delere styrer utfallet. Oversett observasjonene til symboler bare når det gjør strukturen tydeligere. Test til slutt grensene: null, gjentatte siffer, negative verdier eller en manglende operasjon kan ugyldiggjøre en ellers tiltalende påstand.
Når et tallmønster virker uunngåelig, prøv å bryte det før du erklærer seg seirende. Ett enkelt motsvar kan avkrefte en generell påstand. Hvis ingen motsvar dukker opp, forklar hvorfor tilfellene du har vurdert dekker alle muligheter. Dette skiftet, fra «det skjer hele tiden» til «det kan ikke skje på annen måte», er der et tallknep blir til matematikk.