«Paradoks» er en nyttig invitasjon, men en upresis diagnose. En tilsynelatende motsigelse kan forsvinne når et tvetydig ord er definert. Et kontraintuitivt teorem kan være helt konsistent. En ekte logisk antinomi kan derimot vise at en samling forutsetninger ikke alle kan beholdes. Å holde disse kategoriene adskilt hjelper deg med å sette pris på overraskende matematikk, uten å antyde at vanlig aritmetikk har sluttet å fungere.
Monty Hall: vertens prosedyre er gåten
Det finnes tre dører. Bak én gjemmer det seg en premie, og bak de to andre gjemmer det seg geiter. Du velger én dør. En vert som kjenner innholdet bak alle dørene, åpner alltid en geitedør du ikke valgte, og tilbyr alltid at du kan bytte til den gjenværende lukkede døren. Anta at premien like sannsynlig står bak hver dør. Bør du bytte?
Ja. Ditt første valg vinner med sannsynlighet én tredjedel. Det taper med sannsynlighet to tredjedeler. Under den oppgitte prosedyren vinner bytte nøyaktig når ditt første valg var feil. Vertens handling gjør ikke ditt opprinnelige valg til et nytt femti-femti-valg. I stedet fører den informerte fjerningen av en geit den opprinnelige to tredjedels sjansen over til den ene gjenværende alternativet.
Forutsetningene gjør reell jobb. Hvis en uinformert vert åpner en tilfeldig dør du ikke valgte, og det tilfeldigvis viser seg å være en geit, endres den betingede beregningen. Hvis en vert bare tilbyr bytte i utvalgte situasjoner, betyr også vertens regel noe. Det kjente svaret på to tredjedeler hører til et spesifisert forsøk, ikke til enhver historie med tre dører. Problemet er knyttet til TV-programlederen Monty Hall og ble mye diskutert etter at Marilyn vos Savant tok det opp i en spalte i en avis.
Et myntpuslespill om oppdatert tro
En pose inneholder én rettferdig mynt og én mynt med kron på begge sider. Du velger en mynt tilfeldig og kaster den én gang. Resultatet er kron. Hva er sannsynligheten for at du valgte mynten med kron på begge sider? Anta at hver av sidene på den rettferdige mynten like sannsynlig havner opp.
To mynter betyr ikke femti-femti
Hint: sammenlign hvor sannsynlig utfallet er
Kron er garantert med den ene mynten, men forekommer bare halvparten av tiden med den andre.
Vis beregningen
Den felles sannsynligheten for å velge mynten med kron på begge sider og å få kron er 1/2. Den totale sannsynligheten for kron er (1/2 × 1) + (1/2 × 1/2) = 3/4. Del 1/2 på 3/4 for å få 2/3.
Dette er et kompakt eksempel på bayesiansk betinging, oppkalt etter Thomas Bayes. Ny informasjon endrer den relative plausibiliteten til de to mulige kildene. Svaret er ikke en påstand om at den valgte mynten fysisk har endret seg. Det beskriver hva som kan utledes etter at et resultat er observert, under en eksplisitt trekkingsprosess.
Hilberts hotell: fullt er ikke alltid endelig fullt
Tenk deg et hotell med ett rom for hvert positivt heltall, alle opptatt. En ny gjest ankommer. Sjefen ber gjesten i rom n flytte til rom n + 1. Hver eksisterende gjest får et nytt rom, og rom 1 blir ledig. Noe tilsvarende fungerer ikke for et endelig hotell der alle rom er opptatt.
Anta nå at uendelig mange nye gjester ankommer, nummerert 1, 2, 3 og så videre. Flytt hver eksisterende gjest fra rom n til rom 2n. Partallsrommene inneholder de gamle gjestene, og oddetallsrommene inneholder de nye. Dette er en entydig tilordning, ikke en fysisk byggeplan. Den viser at en tellbar uendelig mengde kan ha samme kardinalitet som en av sine ekte delmengder.
Tankeeksperimentet er knyttet til David Hilbert og bygger på ideer utviklet i Georg Cantors studie av uendelige mengder. Det viser ikke at alle uendeligheter har samme størrelse. Cantors diagonalargument viser at de reelle tallene ikke kan listes på samme måte som de positive heltallene. Et bilde av en endeløs korridor er et hjelpemiddel for resonnement, ikke en erstatning for å spesifisere korrespondansen.
Simpsons paradoks: gjennomsnitt bærer skjulte vekter
En trend kan gjelde separat i to grupper og snu seg når gruppene slås sammen. Tenk på to hypotetiske behandlinger. I en enklere gruppe lykkes A i 9 av 10 tilfeller og B i 80 av 100. I en vanskeligere gruppe lykkes A i 20 av 100 tilfeller og B i 1 av 10. A har høyere suksessrate i hver gruppe: 90% mot 80%, og 20% mot 10%.
Samlet lykkes A i 29 av 110 tilfeller, mens B lykkes i 81 av 110. Snuingen er mulig fordi A ble brukt mest i den vanskeligere gruppen, og B mest i den enklere gruppen. De sammenslåtte gjennomsnittene bruker ulike vekter. Disse oppdiktede tallene illustrerer regnestykket; de er ikke klinisk dokumentasjon eller en anbefaling om behandling.
Knyttet til statistikeren Edward H. Simpson advarer paradokset mot å avgjøre hvilken samlet sammenligning som betyr noe, uten å stille et kausalt spørsmål. Mer data fjerner ikke automatisk seleksjonseffekter. Den relevante grupperingen avhenger av hvordan dataene ble generert, og hva du prøver å estimere.
En bedre tilnærming til et paradoks
Når et resultat føles umulig, skriv opp forutsetningene før du forkaster konklusjonen. Hva ble valgt tilfeldig? Hvilken informasjon hadde en observatør? Sammenligner du grupper som er likt vektet? Betyr «uendelig» tellbart uendelig? Når disse spørsmålene er synlige, blir det overraskende resultatet ofte en presis lærdom om grensene for en nyttig intuisjon.