„Paradoks” to przydatne zaproszenie, ale nieprecyzyjna diagnoza. Pozorna sprzeczność może zniknąć, gdy zdefiniujemy niejednoznaczne słowo. Twierdzenie sprzeczne z intuicją może być całkowicie spójne. Prawdziwa antynomia logiczna może natomiast pokazywać, że zbioru założeń nie da się zachować w całości. Rozdzielenie tych kategorii pozwala docenić zaskakującą matematykę, nie sugerując, że zwykła arytmetyka przestała działać.
Monty Hall: zagadką jest procedura gospodarza
Są trzy drzwi, za jednymi ukryta jest nagroda, a za dwoma kozy. Wybierasz jedne drzwi. Gospodarz, który zna zawartość wszystkich, zawsze otwiera jedne z niewybranych drzwi, za którymi jest koza, i zawsze daje ci możliwość zmiany wyboru na pozostałe zamknięte drzwi. Załóżmy, że nagroda z jednakowym prawdopodobieństwem może być za każdymi drzwiami. Czy warto zmienić wybór?
Tak. Twój pierwszy wybór wygrywa z prawdopodobieństwem jednej trzeciej. Przegrywa z prawdopodobieństwem dwóch trzecich. Zgodnie z podaną procedurą zmiana wyboru wygrywa dokładnie wtedy, gdy pierwszy wybór był błędny. Działanie gospodarza nie zamienia twojego pierwotnego wyboru w nowy losowy wybór 50 na 50. Zamiast tego świadome usunięcie kozy przenosi początkowe dwie trzecie szans na jedyną pozostałą alternatywę.
Założenia odgrywają tu realną rolę. Jeśli gospodarz nieświadomie otworzy losowe niewybrane drzwi i przypadkiem pokaże kozę, rachunek warunkowy się zmienia. Jeśli gospodarz oferuje zmianę wyboru tylko w wybranych sytuacjach, liczy się także jego polityka. Znana odpowiedź dwóch trzecich dotyczy określonego eksperymentu, a nie każdej historii z trzema drzwiami. Zagadka wiąże się z prowadzącym telewizyjnym Montym Hallem i stała się szeroko dyskutowana, gdy Marilyn vos Savant omówiła ją w druku.
Zagadka z monetami o aktualizacji przekonań
W worku leży jedna uczciwa moneta i jedna moneta z orłem po obu stronach. Losowo wybierasz monetę i rzucasz nią raz. Wypada orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrałeś monetę dwustronnie orłową? Załóż, że każda strona uczciwej monety ma jednakową szansę upadku do góry.
Dwie monety nie oznaczają podziału 50 na 50
Podpowiedź: porównaj wiarygodności
Wypadnięcie orła jest pewne przy jednej monecie, a przy drugiej zdarza się tylko w połowie przypadków.
Pokaż obliczenie
Łączne prawdopodobieństwo wyboru monety dwustronnie orłowej i wypadnięcia orła wynosi 1/2. Całkowite prawdopodobieństwo orła to (1/2 × 1) + (1/2 × 1/2) = 3/4. Dzieląc 1/2 przez 3/4, otrzymujemy 2/3.
To zwięzły przykład kondycjonowania bayesowskiego, nazwanego od Thomasa Bayesa. Nowa informacja zmienia względną wiarygodność dwóch możliwych źródeł. Odpowiedź nie oznacza, że wybrana moneta fizycznie się zmieniła. Opisuje, co można wywnioskować po zaobserwowaniu wyniku przy jasno określonym procesie losowania.
Hotel Hilberta: pełny nie zawsze oznacza skończenie pełny
Wyobraź sobie hotel z jednym pokojem dla każdej dodatniej liczby całkowitej, wszystkie zajęte. Przybywa nowy gość. Zarządca prosi gościa z pokoju n, by przeniósł się do pokoju n + 1. Każdy dotychczasowy gość ma nowy pokój, a pokój 1 się zwalnia. Nic podobnego nie działa w skończonym hotelu, w którym wszystkie pokoje są zajęte.
Załóżmy teraz, że przybywa przeliczalnie nieskończenie wielu nowych gości, ponumerowanych 1, 2, 3 i tak dalej. Przenieś każdego dotychczasowego gościa z pokoju n do pokoju 2n. Parzyste numery pokoi zajmują dawni goście, a nieparzyste nowi. To jest przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne, a nie plan fizycznej budowy. Pokazuje, że zbiór przeliczalnie nieskończony może mieć taką samą moc jak jeden ze swoich podzbiorów właściwych.
Eksperyment myślowy wiąże się z Davidem Hilbertem i opiera się na ideach rozwiniętych w badaniach zbiorów nieskończonych Georga Cantora. Nie dowodzi, że wszystkie nieskończoności mają ten sam rozmiar. Argument przekątniowy Cantora pokazuje, że liczb rzeczywistych nie da się wypisać w taki sam sposób jak liczb naturalnych dodatnich. Obraz nieskończonego korytarza jest pomocą w rozumowaniu, a nie substytutem określenia odpowiedniości.
Paradoks Simpsona: średnie kryją ukryte wagi
Trend może utrzymywać się w dwóch grupach osobno, a odwrócić się po ich połączeniu. Rozważmy dwa hipotetyczne sposoby leczenia. W łatwiejszej grupie A odnosi sukces w 9 na 10 przypadków, a B w 80 na 100. W trudniejszej grupie A odnosi sukces w 20 na 100 przypadków, a B w 1 na 10. W każdej grupie A ma wyższy wskaźnik sukcesu: 90% wobec 80% oraz 20% wobec 10%.
Razem A odnosi sukces w 29 na 110 przypadków, a B w 81 na 110. Odwrócenie jest możliwe, ponieważ A stosowano głównie w trudniejszej grupie, a B głównie w łatwiejszej. Łączne średnie mają różne wagi. Te wymyślone liczby ilustrują arytmetykę; nie są dowodem klinicznym ani zaleceniem dotyczącym leczenia.
Paradoks, związany ze statystykiem Edwardem H. Simpsonem, ostrzega przed wyborem istotnego porównania zbiorczego bez zadania pytania przyczynowego. Więcej danych nie usuwa automatycznie efektów selekcji. Istotny podział zależy od tego, jak dane powstały i co chcemy oszacować.
Lepsza reakcja na paradoks
Gdy wynik wydaje się niemożliwy, wypisz założenia, zanim odrzucisz wniosek. Co wybrano losowo? Jaką informację posiadał obserwator? Czy porównujesz grupy o jednakowej wadze? Czy „nieskończony” oznacza przeliczalnie nieskończony? Gdy te pytania staną się widoczne, zaskakujący wynik często okazuje się precyzyjną lekcją o granicach użytecznej intuicji.