”Paradoksi” on hyödyllinen kutsu, mutta epätarkka diagnoosi. Näennäinen ristiriita voi kadota, kun epäselvä sana määritellään. Vastoin intuitiota oleva teoreema voi olla täysin ristiriidaton. Todellinen looginen antinomia voi sen sijaan osoittaa, ettei kaikkia oletuksia voi säilyttää. Pitämällä nämä luokat erillään voimme arvostaa yllättävää matematiikkaa ilman, että se viittaa siihen, etteivät tavalliset laskutoimitukset enää toimi.
Monty Hall: isännän menettely on pulma
Ovia on kolme, yhden takana on palkinto ja kahden takana vuohet. Valitset yhden oven. Isäntä, joka tietää kaikkien ovien sisällön, avaa aina valitsemattoman vuohioven ja tarjoaa aina mahdollisuuden vaihtaa jäljellä olevaan suljettuun oveen. Oletetaan, että palkinto oli yhtä todennäköisesti kunkin oven takana. Kannattaako vaihtaa?
Kyllä. Alkuperäinen valintasi voittaa todennäköisyydellä yksi kolmasosa. Se häviää todennäköisyydellä kaksi kolmasosaa. Kerrotulla menettelyllä vaihtaminen voittaa täsmälleen silloin, kun alkuperäinen valintasi oli väärä. Isännän toiminta ei muuta alkuperäistä valintaasi uudeksi, puolen kesken tehdyksi valinnaksi. Sen sijaan tietoinen vuohen poistaminen ohjaa alkuperäisen kahden kolmasosan todennäköisyyden jäljellä olevaan vaihtoehtoon.
Oletuksilla on todellinen merkitys. Jos tietämätön isäntä avaa satunnaisen valitsemattoman oven ja sattuu paljastamaan vuohen, ehdollinen laskelma muuttuu. Jos isäntä tarjoaa vaihtoa vain valituissa tilanteissa, myös hänen toimintatapansa on tärkeä. Tuttu kahden kolmasosan vastaus koskee määriteltyä koetta, ei jokaista tarinaa, jossa on kolme ovea. Ongelma liittyy televisiojuontaja Monty Halliin, ja se tuli laajasti esiin sen jälkeen, kun Marilyn vos Savant käsitteli sitä painetussa lehdessä.
Kolikkopulma uskomuksen päivittämisestä
Pussissa on yksi reilu kolikko ja yksi kolikko, jossa on kruuna molemmilla puolilla. Valitset kolikon satunnaisesti ja heität sitä kerran. Tulos on kruuna. Mikä on todennäköisyys, että valitsit kaksipuolisen kruunukolikon? Oleta, että reilun kolikon kumpikin fyysinen puoli on yhtä todennäköisesti ylöspäin.
Kaksi kolikkoa ei tarkoita tasajakaumaa
Vihje: vertaa uskottavuuksia
Havaittu kruuna on varma yhdellä kolikolla, mutta toisella se tapahtuu vain puolessa tapauksista.
Näytä laskutoimitus
Todennäköisyys, että valitset kaksipuolisen kolikon ja näet kruunan, on 1/2. Kruunun kokonaistodennäköisyys on (1/2 × 1) + (1/2 × 1/2) = 3/4. Jakamalla 1/2 luvulla 3/4 saadaan 2/3.
Tämä on tiivis esimerkki bayesilaisesta ehdollistamisesta, joka on nimetty Thomas Bayesin mukaan. Uusi havainto muuttaa kahden mahdollisen lähteen suhteellista uskottavuutta. Vastaus ei väitä, että valittu kolikko olisi fyysisesti muuttunut. Se kuvaa, mitä voidaan päätellä tuloksen havaitsemisen jälkeen tietyllä eksplisiittisellä otantaprosessilla.
Hilbertin hotelli: täysi ei aina tarkoita äärellisesti täyttä
Kuvittele hotelli, jossa on yksi huone jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle, ja kaikki huoneet ovat varattuja. Uusi vieras saapuu. Johtaja pyytää huoneessa n olevaa vierasta siirtymään huoneeseen n + 1. Jokaisella nykyisellä vieraalla on uusi huone, ja huone 1 vapautuu. Mikään vastaava ei toimi äärellisessä hotellissa, jonka kaikki huoneet ovat varattuja.
Oletetaan nyt, että saapuu laskettavasti äärettömän monta uutta vierasta, numeroituina 1, 2, 3 ja niin edelleen. Siirrä jokainen nykyinen vieras huoneesta n huoneeseen 2n. Parillisnumeroiset huoneet ovat vanhoille vieraille, parittomat uusille. Tämä on yksi-yhteen-vastaavuus, ei fyysinen rakennussuunnitelma. Se osoittaa, miten laskettavasti ääretön joukko voi olla yhtä mahtava kuin jokin sen aito osajoukko.
Ajatuskoe liittyy David Hilbertiin ja perustuu Georg Cantorin äärettömien joukkojen tutkimuksessa kehittämiin ajatuksiin. Se ei osoita, että jokaisella äärettömyydellä on sama koko. Cantorin diagonaaliargumentti osoittaa, ettei reaalilukuja voi luetella samalla tavalla kuin positiivisia kokonaislukuja. Loputtoman käytävän kuva on apu päättelylle, ei korvike vastaavuuden määrittelylle.
Simpsonin paradoksi: keskiarvoissa on piilotettuja painoja
Suuntaus voi pitää paikkansa kahdessa ryhmässä erikseen ja kääntyä, kun ryhmät yhdistetään. Harkitse kahta kuvitteellista hoitoa. Helpommassa ryhmässä A onnistuu 10 tapauksesta 9:ssä ja B 100 tapauksesta 80:ssa. Vaikeammassa ryhmässä A onnistuu 100 tapauksesta 20:ssä ja B 10 tapauksesta 1:ssä. A:lla on korkeampi onnistumisprosentti kummassakin ryhmässä: 90 % vastaan 80 % ja 20 % vastaan 10 %.
Yhdistettynä A onnistuu 110 tapauksesta 29:ssä, kun taas B onnistuu 110 tapauksesta 81:ssä. Käänne on mahdollinen, koska A:ta käytettiin enimmäkseen vaikeammassa ryhmässä ja B:tä enimmäkseen helpommassa. Yhdistetyillä keskiarvoilla on eri painot. Nämä keksityt luvut havainnollistavat laskutoimitusta; ne eivät ole kliinistä näyttöä eivätkä suositus hoidosta.
Tilastotieteilijä Edward H. Simpsoniin liitetty paradoksi varoittaa päättämästä, mikä kokonaisvertailu on merkityksellinen, kysymättä kausaalista kysymystä. Lisää dataa ei automaattisesti poista valintavirheitä. Olennainen ryhmittely riippuu siitä, miten data on syntynyt ja mitä haluat arvioida.
Parempi tapa suhtautua paradoksiin
Kun tulos tuntuu mahdottomalta, luettele oletukset ennen kuin hylkäät johtopäätöksen. Mikä valittiin satunnaisesti? Mitä tietoa havaitsijalla oli? Vertaatko keskenään yhtä painotettuja ryhmiä? Tarkoittaako ”ääretön” laskettavasti ääretöntä? Kun nämä kysymykset ovat näkyvissä, yllättävä tulos muuttuu usein tarkaksi opetukseksi hyödyllisen intuition rajoista.