”Mahdoton” voi tarkoittaa monia hyvin erilaisia asioita. Tehtävä voi ylittää nykyisen menetelmäsi, olla laskennallisesti raskas, mahdoton tietyillä työkaluilla tai loogisesti ristiriidassa sääntöjensä kanssa. Nämä väitteet eivät ole keskenään vaihdettavissa. Viihdematematiikka tarjoaa hyvän tavan harjoitella eroa: osa palapeleistä ratkeaa paremmalla strategialla, kun taas osa vaatii todistuksen siitä, ettei mikään strategia voi onnistua.
Vaurioitunut shakkilauta
Ota tavallinen 8 × 8 shakkilauta ja poista kaksi vastakkaista nurkkaruutua. Voiko jäljelle jäävät 62 ruutua peittää täsmälleen 31 dominolla, joista kukin peittää kaksi ortogonaalisesti vierekkäistä ruutua? Dominoja saa kääntää, mutta ne eivät saa mennä päällekkäin, ulottua laudan ulkopuolelle tai peittää vain osaa ruudusta.
Laskelma näyttää lupaavalta: 31 kertaa kaksi on 62. Pinta-alan laskeminen jättää kuitenkin huomiotta toisen rajoitteen. Väritä lauta tavanomaisella vuorottelevalla kuviolla. Jokaisen dominon on peitettävä yksi vaalea ja yksi tumma ruutu. Kahdeksan kertaa kahdeksan laudan vastakkaiset nurkkaruudut ovat samanvärisiä, joten niiden poistaminen jättää yhtä väriä 30 ruutua ja toista väriä 32 ruutua.
Näytä mahdottomuuden perustelu
Mikä tahansa 31 dominon asettelu peittää täsmälleen 31 vaaleaa ja 31 tummaa ruutua. Muokatussa laudassa on 30:n ja 32:n välinen epätasapaino, joten yksikään sallittu asettelu ei voi peittää sitä. Tämä pätee jokaiseen järjestelyyn, myös sellaisiin, joita kukaan ei ole kokeillut.
Väritys on invarianttiin perustuva este. Se ei kerro, kuinka lähellä jokin tietty asettelu on onnistumista, eikä sen tarvitsekaan. Se tunnistaa välttämättömän ehdon onnistumiselle ja osoittaa, että lauta rikkoo sitä. Välttämättömän ehdon täyttyminen ei kuitenkaan automaattisesti riitä: yhden kummankin väristä poistaminen poistaa tämän erityisen vastaväitteen, mutta yleisemmin vaurioitunut lauta voisi silti olla peittämätön jostain toisesta syystä.
Silta, joka vain näyttää mahdottomalta
Neljän ihmisen on ylitettävä silta yöllä. Heidän yksittäiset ylitysaikansa ovat 1, 2, 5 ja 10 minuuttia. Kerralla saa ylittää enintään kaksi henkilöä, ja jokaisessa ylityksessä on oltava mukana ainoa taskulamppu. Pari liikkuu hitaamman henkilön vauhdilla. Lamppua ei saa heittää, eikä siltaa voi kiertää. Mikä on pienin kokonaisaika?
Luonnollinen ensimmäinen suunnitelma lähettää nopein henkilö takaisin aina, kun hän on saattanut toisen yli. Tämä antaa 19 minuuttia. Parempi strategia kysyy vähemmän ilmeisen kysymyksen: pitäisikö kahden hitaimman ylittää yhdessä, kun kaksi nopeinta hoitavat lampun?
Etsi lyhin aikataulu
Vihje: anna kahden hitaimman ylittää yhdessä
Yritä saada 5 minuutin ja 10 minuutin henkilö ylittämään yhdessä parina. Järjestä niin, että nopea henkilö tuo lampun takaisin sen jälkeen.
Näytä 17 minuutin aikataulu
- 1 ja 2 ylittävät: 2 minuuttia.
- 1 palaa: 1 minuutti.
- 5 ja 10 ylittävät: 10 minuuttia.
- 2 palaa: 2 minuuttia.
- 1 ja 2 ylittävät: 2 minuuttia.
Yhteensä: 2 + 1 + 10 + 2 = 17 minuuttia.
Toimiva aikataulu osoittaa, että 17 minuuttia on mahdollista saavuttaa. Pienimmyyden osoittamiseksi erotetaan kaksi tapausta. Jos kaksi hitainta ei koskaan ylitä yhdessä, heidän menosuuntaiset ylityksensä maksavat vähintään 5 + 10 minuuttia. Vähintään yksi lisäylitys menosuuntaan maksaa vähintään 2 minuuttia, ja vähintään kaksi paluuta maksavat vähintään 1 minuutin kumpikin. Kokonaisaika on vähintään 19 minuuttia.
Jos kaksi hitainta ylittävät yhdessä, heidän ylityksensä kestää 10 minuuttia. Nopean parin on myös päädyttävä toiselle puolelle, ja joku on tuotava lamppu ja vietävä se takaisin tämän hitaan ylityksen ympärillä. Minimaalisessa aikataulussa ilman turhia matkoja nopea pari ylittää yhdessä kahdesti, ja kumpikin palaa kerran: vähintään 2 + 2 + 1 + 2 = 7 lisäminuuttia. Hitaan henkilön lähettäminen takaisin vain kasvattaa asiaankuuluvia kustannuksia. Näytetty aikataulu saavuttaa tämän 17 minuutin alarajan. Perustelu olettaa, että yllä mainitut kapasiteetit ja liikkumissäännöt pätevät täsmälleen.
Mikä on mahdotonta mikäkin työkaluin?
Muinainen ympyrän neliöimisen ongelma kysyy neliötä, jonka pinta-ala on täsmälleen annetun ympyrän pinta-ala. Neliö on rakennettava vain ihanteellisella merkitsemättömällä viivoittimella ja harpilla äärellisessä määrässä vaiheita. Rajoituksilla on merkitystä. Likimääräiset piirrokset ovat helppoja, ja eri työkalujoukko muuttaa kysymystä. Klassinen väite koskee täsmällistä rakennettavuutta tietyssä matemaattisessa mallissa.
Yksikkösäteisen ympyrän neliön sivun pituus olisi √π. Viivoittimella ja harpilla rakennettavat pituudet ovat rationaalilukujen algebrallisia, ja niiden laajennuksille on lisärajoituksia. Ferdinand von Lindemannin vuonna 1882 esittämä todistus siitä, että π on transsendenttinen, sulkee pois vaaditun pituuden. Jos √π olisi algebrallinen, myös sen neliö π olisi algebrallinen, mikä on ristiriidassa tuon tuloksen kanssa.
Muita klassisia tehtäviä ovat kuution kahdentaminen ja mielivaltaisen kulman kolmijako. Pierre Wantzel osoitti näille rakennuksille keskeiset mahdottomuustulokset vuonna 1837. Jotkin tietyt kulmat voidaan kolmijakaa; mahdoton tehtävä on yleinen rakennus jokaiselle kulmalle rajoitetuilla työkaluilla. Väite voi muuttua epätodeksi pelkällä sanan, kuten ”mielivaltainen” tai ”täsmällinen”, pudottamisella.
Etsi ensin, sitten muuta kysymystä
Kokeile ensin rakentavia menetelmiä, mutta aseta raja, jonka jälkeen toistuva epäonnistuminen saa sinut kokeilemaan uutta lähestymistapaa. Kysy, mitä jokainen sallittu siirto säilyttää, mitä jokaisen onnistuneen lopputilan on täytettävä ja ovatko nämä ehdot keskenään ristiriidassa. Pariteetti, värittäminen ja yhtenäisyys ovat erityisen hyödyllisiä lähtötyökaluja.
Älä pidä tunnetun ratkaisun puuttumista todisteena siitä, ettei ratkaisua ole. Avoin ongelma ei ole mahdottomuusteoreema. Toisaalta kun pätevä este on osoitettu, miljoona muuta yritystä samojen sääntöjen mukaan ei auta. Tyydyttävä siirto ei ole luovuttamista. Se on sen tunnustamista, että täydellisin ratkaisu saattaa olla selitys siitä, miksi pyydetty kohde ei voi olla olemassa.