„Unmöglich“ kann sehr verschiedene Dinge bedeuten. Eine Aufgabe kann über Ihre derzeitige Methode hinausgehen, rechnerisch aufwendig sein, mit einem bestimmten Werkzeugsatz nicht lösbar sein oder logisch mit ihren Regeln unvereinbar sein. Diese Behauptungen sind nicht austauschbar. Die Unterhaltungsmathematik bietet eine wertvolle Möglichkeit, diese Unterscheidung zu üben: Manche Rätsel geben sich einer besseren Strategie geschlagen, während andere einen Beweis verlangen, dass keine Strategie erfolgreich sein kann.
Das verstümmelte Schachbrett
Nehmen Sie ein gewöhnliches 8×8-Schachbrett und entfernen Sie zwei diagonal gegenüberliegende Eckfelder. Lassen sich die verbleibenden 62 Felder genau mit 31 Dominosteinen bedecken, wobei jeder Stein zwei waagerecht oder senkrecht benachbarte Felder abdeckt? Dominosteine dürfen gedreht werden, aber sie dürfen sich nicht überlappen, nicht über das Brett hinausragen und nicht nur einen Teil eines Feldes bedecken.
Die Anzahl wirkt vielversprechend: 31 mal zwei ist 62. Doch die Fläche zu zählen berücksichtigt eine zweite Bedingung nicht. Färben Sie das Brett im üblichen Schachmuster ein. Jeder Dominostein muss ein helles und ein dunkles Feld bedecken. Gegenüberliegende Ecken eines 8×8-Brettes haben dieselbe Farbe, daher bleiben nach dem Entfernen 30 Felder der einen Farbe und 32 der anderen.
Beweis der Unmöglichkeit anzeigen
Jede Auslegung von 31 Dominosteinen bedeckt genau 31 helle und 31 dunkle Felder. Das veränderte Brett hat ein Ungleichgewicht von 30 zu 32, daher kann keine erlaubte Auslegung es bedecken. Dies gilt für jede Anordnung, auch für solche, die noch niemand ausprobiert hat.
Die Färbung ist ein auf einer Invariante beruhendes Hindernis. Sie sagt nicht, wie nahe eine bestimmte Anordnung an eine Lösung herankommt, und muss dies auch nicht. Sie benennt eine notwendige Bedingung für den Erfolg und zeigt, dass das Brett diese verletzt. Die Erfüllung einer notwendigen Bedingung ist jedoch nicht automatisch hinreichend: Wenn man je ein Feld jeder Farbe entfernt, entfällt dieser bestimmte Einwand, doch ein allgemeiner beschädigtes Brett könnte aus einem anderen Grund trotzdem nicht auslegbar sein.
Eine Brücke, die nur unmöglich scheint
Vier Personen müssen nachts eine Brücke überqueren. Ihre einzelnen Überquerungszeiten betragen 1, 2, 5 und 10 Minuten. Höchstens zwei Personen dürfen gleichzeitig gehen, und bei jeder Überquerung muss die einzige Fackel mitgeführt werden. Ein Paar bewegt sich im Tempo der langsameren Person. Die Fackel darf nicht geworfen werden, und es gibt keinen Umweg über die Brücke. Wie lautet die minimale Gesamtzeit?
Ein naheliegender erster Plan schickt die schnellste Person nach jeder Begleitung eines der anderen zurück. Das ergibt 19 Minuten. Eine bessere Strategie stellt eine weniger offensichtliche Frage: Sollten die beiden Langsamsten gemeinsam gehen, während die beiden Schnellsten die Fackel übernehmen?
Finden Sie den kürzesten Ablauf
Hinweis: Die langsame Überquerung gemeinsam nutzen
Versuchen Sie, die Personen mit 5 und 10 Minuten als Paar gehen zu lassen. Sorgen Sie dafür, dass danach eine schnelle Person die Fackel zurückbringt.
Den 17-Minuten-Ablauf anzeigen
- 1 und 2 gehen hinüber: 2 Minuten.
- 1 kehrt zurück: 1 Minute.
- 5 und 10 gehen hinüber: 10 Minuten.
- 2 kehrt zurück: 2 Minuten.
- 1 und 2 gehen hinüber: 2 Minuten.
Gesamt: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 Minuten.
Ein funktionierender Ablauf zeigt, dass 17 Minuten erreichbar sind. Um die Minimalität zu belegen, unterscheiden Sie zwei Fälle. Wenn die beiden Langsamsten nie gemeinsam gehen, kosten ihre Hinüberwege mindestens 5 + 10 Minuten. Mindestens ein weiterer Hinweg kostet mindestens 2 Minuten, und mindestens zwei Rückwege kosten jeweils mindestens 1 Minute. Die Gesamtzeit beträgt dann mindestens 19 Minuten.
Wenn die beiden Langsamsten gemeinsam gehen, kostet ihre Überquerung 10 Minuten. Das schnelle Paar muss ebenfalls auf der anderen Seite ankommen, und jemand muss die Fackel rund um diese langsame Überquerung bereitstellen und zurückholen. In einem minimalen Ablauf ohne überflüssige Wege überqueren die beiden Schnellsten zweimal gemeinsam, und jeder kehrt einmal zurück: mindestens 2 + 2 + 1 + 2 = 7 zusätzliche Minuten. Einen Langsamen zurückzuschicken erhöht nur die relevanten Kosten. Der dargestellte Ablauf erreicht diese untere Schranke von 17 Minuten. Diese Begründung setzt die genau oben genannten Kapazitäten und Bewegungsregeln voraus.
Unmöglich mit welchen Hilfsmitteln?
Das antike Problem der Quadratur des Kreises fragt nach einem Quadrat mit genau der Fläche eines gegebenen Kreises, konstruiert allein mit einem idealen, unmarkierten Lineal und einem Zirkel in endlich vielen Schritten. Die Einschränkungen sind entscheidend. Näherungszeichnungen sind leicht anzufertigen, und ein anderer Werkzeugsatz verändert die Frage. Die klassische Aussage betrifft die exakte Konstruierbarkeit in einem bestimmten mathematischen Modell.
Für einen Kreis mit Radius 1 hätte die Seite des Quadrats die Länge √π. Mit Lineal und Zirkel konstruierbare Längen sind algebraisch über den rationalen Zahlen, mit weiteren Einschränkungen für ihre Körpererweiterungen. Ferdinand von Lindemanns Beweis aus dem Jahr 1882, dass π transzendent ist, schließt die benötigte Länge aus. Wäre √π algebraisch, wäre auch sein Quadrat π algebraisch, was diesem Ergebnis widerspricht.
Weitere klassische Aufgaben sind die Würfelverdopplung und die Dreiteilung eines beliebigen Winkels. Pierre Wantzel bewies 1837 zentrale Unmöglichkeitsresultate für diese Konstruktionen. Manche bestimmte Winkel lassen sich dreiteilen; unmöglich ist eine allgemeine Konstruktion für jeden Winkel mit den eingeschränkten Werkzeugen. Eine Aussage kann allein dadurch falsch werden, dass man ein Wort wie „beliebig“ oder „exakt“ weglässt.
Suchen, dann die Frage ändern
Versuchen Sie zuerst konstruktive Methoden, legen Sie aber einen Punkt fest, ab dem wiederholtes Scheitern einen neuen Ansatz erforderlich macht. Fragen Sie, was jeder zulässige Zug erhält, welche Bedingungen jeder erfolgreiche Endzustand erfüllen muss und ob diese Bedingungen miteinander in Konflikt stehen. Parität, Färbung und Zusammenhang sind besonders nützliche Werkzeuge für den Anfang.
Fehlt eine bekannte Lösung, ist das kein Beweis dafür, dass keine existiert. Ein offenes Problem ist kein Unmöglichkeitssatz. Umgekehrt helfen, sobald eine gültige Obstruktion nachgewiesen ist, weitere eine Million Versuche unter denselben Regeln nicht weiter. Die befriedigende Reaktion ist nicht Kapitulation, sondern die Erkenntnis, dass die vollständigste Lösung eine Erklärung dafür sein kann, warum das verlangte Objekt nicht existieren kann.