A „lehetetlen” többféle, egymástól nagyon eltérő dolgot jelenthet. Egy feladat meghaladhatja a jelenlegi módszerét, számítása költséges lehet, bizonyos eszközökkel megoldhatatlan lehet, vagy logikailag ellentmondhat szabályainak. Ezek az állítások nem cserélhetők fel. A szórakoztató matematika értékes módot kínál a különbségtétel gyakorlására: egyes feladatok egy jobb stratégiának engedelmeskednek, míg mások olyan bizonyítást igényelnek, amely szerint semmilyen stratégia nem vezethet sikerre.
A megcsonkított sakktábla
Vegyen egy szokványos 8×8-as sakktáblát, és távolítsa el két átellenes sarokmezőt. Lefedhető-e a maradék 62 mező pontosan 31 dominóval, amelyek mindegyike két oldalszomszédos mezőt fed? A dominók elforgathatók, de nem fedhetik egymást, nem nyúlhatnak túl a táblán, és nem fedhetnek csak egy mezőnyi részt.
A számolás ígéretesnek tűnik: 31-szer 2 az 62. A területszámolás azonban figyelmen kívül hagy egy második feltételt. Színezze ki a táblát a szokásos váltakozó mintázat szerint. Minden dominónak egy világos és egy sötét mezőt kell lefednie. Egy 8×8-as tábla átellenes sarkai azonos színűek, így azok eltávolítása után az egyik színből 30, a másikból 32 mező marad.
A lehetetlenségi érvelés megjelenítése
Bármely 31 dominóból álló elhelyezés pontosan 31 világos és 31 sötét mezőt fed le. A módosított táblán 30:32 az egyensúlyhiány, így semmilyen megengedett elhelyezés nem fedheti le. Ez minden elrendezésre igaz, beleértve azokat is, amelyeket senki sem próbált ki.
A színezés invariáns alapú akadály. Nem mondja meg, hogy egy adott elrendezés mennyire lesz közel a sikerhez, és nem is kell ezt megmondania. Egy szükséges feltételt azonosít, és megmutatja, hogy a tábla nem felel meg neki. Egy szükséges feltétel teljesülése azonban nem elégséges automatikusan: ha mindkét színből eltávolítunk egy-egy mezőt, ez a konkrét kifogás megszűnik, de egy általánosabban megsérült tábla más okból továbbra is lefedhetetlen maradhat.
Egy híd, amely csak lehetetlennek tűnik
Négy embernek éjszaka át kell kelnie egy hídon. Egyéni átkelési idejük 1, 2, 5 és 10 perc. Egyszerre legfeljebb két ember kelhet át, és minden átkelésnél magával kell vinnie az egyetlen fáklyát. Egy pár a lassabb ember tempóját követi. A fáklyát nem lehet eldobni, és nincs kerülőút a hídon. Mi a minimális teljes idő?
Egy természetes első terv szerint a leggyorsabb ember minden egyes másik átkísérése után visszamegy. Ez 19 percet eredményez. Jobb stratégia egy kevésbé nyilvánvaló kérdést tesz fel: a két leglassabb ember átkelhet-e együtt, míg a két leggyorsabb kezeli a fáklyát?
Keresse meg a legrövidebb menetrendet
Tipp: ossza meg a lassú átkelést
Próbálja meg úgy megoldani, hogy az 5 és a 10 perces ember párban keljen át. Gondoskodjon arról, hogy egy gyors ember utána visszavigye a fáklyát.
A 17 perces menetrend megjelenítése
- 1 és 2 átkel: 2 perc.
- 1 visszatér: 1 perc.
- 5 és 10 átkel: 10 perc.
- 2 visszatér: 2 perc.
- 1 és 2 átkel: 2 perc.
Összesen: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 perc.
Egy működő menetrend bizonyítja, hogy 17 perc elérhető. A minimalitás igazolásához két esetet kell elkülöníteni. Ha a két leglassabb sosem kel át együtt, előre irányuló átkelésük legalább 5 + 10 percbe kerül. Legalább egy további előre irányuló átkelés legalább 2 percbe, legalább két visszatérő átkelés pedig legalább 1-1 percbe kerül. Összesen legalább 19 perc.
Ha a két leglassabb együtt kel át, az átkelésük 10 percbe kerül. A gyors párnak is a túloldalon kell végeznie, és valakinek a lassú átkelés körül el kell hoznia és vissza kell vinnie a fáklyát. Egy minimális menetrendben, felesleges utak nélkül, a gyors pár kétszer kel át együtt, és mindketten egyszer visszatérnek: legalább 2 + 2 + 1 + 2 = 7 további perc. Ha egy lassú embert visszaküldenénk, csak nőnének a releváns költségek. A bemutatott menetrend eléri ezt a 17 perces alsó korlátot. Az érvelés a fent megadott pontos kapacitási és közlekedési szabályokat feltételezi.
Lehetetlen milyen eszközökkel?
Az ókori körnégyszögesítési probléma olyan négyzet szerkesztését kéri, amelynek területe pontosan egy adott körével egyezik, és amelyet csak ideális, beosztás nélküli vonalzóval és iránytűvel, véges sok lépésben lehet megszerkeszteni. A korlátozások számítanak. A közelítő rajzok könnyűek, és más eszközkészlet megváltoztatja a kérdést. A klasszikus állítás a pontos szerkeszthetőségre vonatkozik egy meghatározott matematikai modellben.
Egy egységsugarú kör esetén a négyzet oldala √π hosszú lenne. A vonalzóval és iránytűvel szerkeszthető hosszúságok racionális számok feletti algebrai számok, további korlátozásokkal a bővítő testeikre nézve. Ferdinand von Lindemann 1882-es bizonyítása, amely szerint π transzcendens, kizárja a szükséges hosszúságot. Ha √π algebrai lenne, akkor négyzete, π is az lenne, ami ellentmond ennek az eredménynek.
Más klasszikus feladatok a kocka megkettőzése és tetszőleges szög harmadolása. Pierre Wantzel 1837-ben lényeges lehetetlenségi eredményeket bizonyított ezekre a szerkesztésekre. Egyes konkrét szögek harmadolhatók; a lehetetlen feladat az, hogy minden szögre általános szerkesztést adjunk a korlátozott eszközökkel. Egy állítás egyszerűen hamissá válhat, ha kihagyunk egy szót, például a „tetszőleges” vagy a „pontos” szót.
Keressen, majd változtassa meg a kérdést
Először próbálkozzon konstruktív módszerekkel, de határozzon meg egy pontot, ahol az ismétlődő kudarc új megközelítést tesz szükségessé. Kérdezze meg, mit őriz meg minden szabályos lépés, mit kell teljesítenie bármely sikeres végállapotnak, és ütköznek-e ezek a feltételek egymással. A paritás, a színezés és a összefüggőség különösen hasznos kiindulópontok.
Ne tekintse azt, hogy nincs ismert megoldás, bizonyítéknak arra, hogy nem létezik megoldás. Egy nyitott probléma nem lehetetlenségi tétel. Viszont ha egyszer érvényes akadályt igazoltunk, további egymillió próbálkozás ugyanazon szabályok mellett sem segít. A kielégítő lépés nem a feladás. Annak felismerése, hogy a legteljesebb megoldás az lehet, ha megmagyarázzuk, miért nem létezhet a kért objektum.