Το «ανέφικτο» μπορεί να σημαίνει αρκετά διαφορετικά πράγματα. Ένα έργο μπορεί να ξεπερνά την τρέχουσα μέθοδό σας, να είναι υπολογιστικά δαπανηρό, να είναι αδύνατο με συγκεκριμένο σύνολο εργαλείων ή να είναι λογικά ασυμβίβαστο με τους κανόνες του. Αυτοί οι ισχυρισμοί δεν είναι εναλλάξιμοι. Τα ψυχαγωγικά μαθηματικά προσφέρουν έναν χρήσιμο τρόπο να εξασκηθείτε στη διάκριση: ορισμένοι γρίφοι υποχωρούν μπροστά σε καλύτερη στρατηγική, ενώ άλλοι απαιτούν απόδειξη ότι καμία στρατηγική δεν μπορεί να πετύχει.
Η ακρωτηριασμένη σκακιέρα
Πάρτε μια συνηθισμένη σκακιέρα 8 επί 8 και αφαιρέστε δύο γωνιακά τετράγωνα που βρίσκονται σε αντιδιαγώνιες θέσεις. Μπορούν τα υπόλοιπα 62 τετράγωνα να καλυφθούν ακριβώς από 31 ντόμινο, καθένα από τα οποία καλύπτει δύο ορθογώνια γειτονικά τετράγωνα; Τα ντόμινο μπορούν να περιστραφούν, αλλά δεν μπορούν να επικαλύπτονται, να εξέχουν από τη σκακιέρα ή να καλύπτουν μόνο μέρος ενός τετραγώνου.
Η καταμέτρηση φαίνεται ελπιδοφόρα: 31 επί δύο ισούται με 62. Ωστόσο, η καταμέτρηση της επιφάνειας αγνοεί έναν δεύτερο περιορισμό. Χρωματίστε τη σκακιέρα με το συνηθισμένο εναλλασσόμενο σχέδιο. Κάθε ντόμινο πρέπει να καλύπτει ένα ανοιχτόχρωμο και ένα σκουρόχρωμο τετράγωνο. Οι αντίθετες γωνίες μιας σκακιέρας 8 επί 8 έχουν το ίδιο χρώμα, οπότε η αφαίρεσή τους αφήνει 30 τετράγωνα του ενός χρώματος και 32 του άλλου.
Αποκαλύψτε το επιχείρημα αδυναμίας
Κάθε τοποθέτηση 31 ντόμινο καλύπτει ακριβώς 31 ανοιχτόχρωμα και 31 σκουρόχρωμα τετράγωνα. Η τροποποιημένη σκακιέρα έχει ανισορροπία 30 προς 32, άρα καμία επιτρεπτή τοποθέτηση δεν μπορεί να την καλύψει. Αυτό ισχύει για κάθε διάταξη, συμπεριλαμβανομένων και εκείνων που κανείς δεν έχει δοκιμάσει.
Ο χρωματισμός είναι ένα εμπόδιο βασισμένο σε αναλλοίωτο. Δεν σας λέει πόσο κοντά στην επιτυχία θα φτάσει μια συγκεκριμένη διάταξη, και δεν χρειάζεται να το κάνει. Εντοπίζει μια αναγκαία συνθήκη επιτυχίας και δείχνει ότι η σκακιέρα την παραβιάζει. Ωστόσο, η ικανοποίηση μιας αναγκαίας συνθήκης δεν είναι αυτομάτως και επαρκής: η αφαίρεση ενός τετραγώνου κάθε χρώματος εξαλείφει αυτή τη συγκεκριμένη ένσταση, αλλά μια γενικότερη κατεστραμμένη σκακιέρα μπορεί να μην είναι στρωνόμενη για άλλον λόγο.
Μια γέφυρα που φαίνεται μόνο ανέφικτη
Τέσσερα άτομα πρέπει να περάσουν μια γέφυρα τη νύχτα. Οι χρόνοι διέλευσης του καθενός είναι 1, 2, 5 και 10 λεπτά. Το πολύ δύο άτομα μπορούν να περάσουν ταυτόχρονα, και κάθε διέλευση πρέπει να γίνεται με τον μοναδικό φακό. Ένα ζευγάρι κινείται με τον ρυθμό του πιο αργού. Ο φακός δεν μπορεί να πεταχτεί, και δεν υπάρχει άλλος δρόμος πέρα από τη γέφυρα. Ποιος είναι ο ελάχιστος συνολικός χρόνος;
Ένα φυσικό πρώτο σχέδιο στέλνει τον πιο γρήγορο πίσω μετά από κάθε συνοδεία των υπολοίπων. Αυτό δίνει 19 λεπτά. Μια καλύτερη στρατηγική θέτει ένα λιγότερο προφανές ερώτημα: θα πρέπει οι δύο πιο αργοί να περάσουν μαζί, ενώ οι δύο πιο γρήγοροι διαχειρίζονται τον φακό;
Βρείτε το συντομότερο χρονοδιάγραμμα
Υπόδειξη: μοιραστείτε τη αργή διέλευση
Δοκιμάστε να περάσουν τα άτομα των 5 και 10 λεπτών μαζί ως ζευγάρι. Φροντίστε ένα γρήγορο άτομο να φέρει τον φακό πίσω στη συνέχεια.
Αποκαλύψτε το χρονοδιάγραμμα των 17 λεπτών
- 1 και 2 περνούν: 2 λεπτά.
- Το 1 επιστρέφει: 1 λεπτό.
- 5 και 10 περνούν: 10 λεπτά.
- Το 2 επιστρέφει: 2 λεπτά.
- 1 και 2 περνούν: 2 λεπτά.
Σύνολο: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 λεπτά.
Ένα λειτουργικό χρονοδιάγραμμα αποδεικνύει ότι τα 17 λεπτά είναι εφικτά. Για να αποδειχθεί η ελαχιστότητα, διαχωρίστε δύο περιπτώσεις. Αν οι δύο πιο αργοί δεν περάσουν ποτέ μαζί, οι εμπρός διελεύσεις τους κοστίζουν τουλάχιστον 5 + 10 λεπτά. Τουλάχιστον μία επιπλέον εμπρός διέλευση κοστίζει τουλάχιστον 2 λεπτά, και τουλάχιστον δύο επιστροφές κοστίζουν τουλάχιστον 1 λεπτό η καθεμία. Το σύνολο είναι τουλάχιστον 19 λεπτά.
Αν οι δύο πιο αργοί περάσουν μαζί, η διέλευσή τους κοστίζει 10 λεπτά. Το γρήγορο ζευγάρι πρέπει επίσης να καταλήξει στην απέναντι πλευρά, και κάποιος πρέπει να προμηθεύσει και να ανακτήσει τον φακό γύρω από αυτή την αργή διέλευση. Σε ένα ελάχιστο χρονοδιάγραμμα χωρίς περιττές μετακινήσεις, το γρήγορο ζευγάρι περνά μαζί δύο φορές και ο καθένας επιστρέφει μία φορά: τουλάχιστον 2 + 2 + 1 + 2 = 7 επιπλέον λεπτά. Το να στείλετε πίσω έναν αργό άνθρωπο μόνο αυξάνει το σχετικό κόστος. Το εμφανιζόμενο χρονοδιάγραμμα φτάνει σε αυτό το κατώτατο όριο των 17 λεπτών. Το επιχείρημα προϋποθέτει τις ακριβείς χωρητικότητες και τους κανόνες μετακίνησης που αναφέρονται παραπάνω.
Ανέφικτο με ποια εργαλεία;
Το αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου ζητά τετράγωνο με ακριβώς το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου, κατασκευασμένο μόνο με ιδανικό χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις και διαβήτη, σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Οι περιορισμοί έχουν σημασία. Οι προσεγγιστικές σχεδιάσεις είναι εύκολες, και ένα διαφορετικό σύνολο εργαλείων αλλάζει το ερώτημα. Ο κλασικός ισχυρισμός αφορά την ακριβή κατασκευασιμότητα σε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό μοντέλο.
Για κύκλο ακτίνας 1, η πλευρά του τετραγώνου θα έπρεπε να έχει μήκος √π. Τα μήκη που κατασκευάζονται με χάρακα και διαβήτη είναι αλγεβρικά πάνω από τους ρητούς αριθμούς, με περαιτέρω περιορισμούς στις επεκτάσεις τους. Η απόδειξη του Ferdinand von Lindemann το 1882 ότι το π είναι υπερβατικός αποκλείει το απαιτούμενο μήκος. Αν το √π ήταν αλγεβρικό, το τετράγωνό του, δηλαδή το π, θα ήταν επίσης αλγεβρικό, κάτι που αντιφάσκει με αυτό το αποτέλεσμα.
Άλλα κλασικά προβλήματα περιλαμβάνουν τον διπλασιασμό του κύβου και την τριχοτόμηση μιας τυχαίας γωνίας. Ο Pierre Wantzel απέδειξε βασικά αποτελέσματα αδυναμίας για αυτές τις κατασκευές το 1837. Ορισμένες συγκεκριμένες γωνίες μπορούν να τριχοτομηθούν· το ανέφικτο έργο είναι μια καθολική κατασκευή για κάθε γωνία με τα περιορισμένα εργαλεία. Μια πρόταση μπορεί να γίνει ψευδής απλώς με την αφαίρεση μιας λέξης όπως «τυχαία» ή «ακριβής».
Αναζητήστε, και μετά αλλάξτε το ερώτημα
Δοκιμάστε πρώτα κατασκευαστικές μεθόδους, αλλά ορίστε ένα σημείο στο οποίο η επαναλαμβανόμενη αποτυχία θα σας οδηγεί σε νέα προσέγγιση. Αναρωτηθείτε τι διατηρεί κάθε επιτρεπτή κίνηση, τι πρέπει να ικανοποιεί κάθε επιτυχημένη τελική κατάσταση και αν αυτές οι συνθήκες έρχονται σε σύγκρουση. Η ισοτιμία, ο χρωματισμός και η συνεκτικότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα αρχικά εργαλεία.
Μην θεωρείτε την απουσία γνωστής λύσης απόδειξη ότι καμία λύση δεν υπάρχει. Ένα ανοιχτό πρόβλημα δεν είναι θεώρημα αδυναμίας. Αντίστροφα, μόλις διαπιστωθεί ένα έγκυρο εμπόδιο, άλλες ένα εκατομμύριο προσπάθειες με τους ίδιους κανόνες δεν θα βοηθήσουν. Η ικανοποιητική κίνηση δεν είναι η παραίτηση. Είναι η αναγνώριση ότι η πληρέστερη λύση μπορεί να είναι μια εξήγηση του γιατί το ζητούμενο αντικείμενο δεν μπορεί να υπάρξει.