Ένας καλός λογικός γρίφος σας δίνει αρκετές πληροφορίες για να καταλήξετε σε συμπέρασμα, αλλά όχι απαραίτητα στη μορφή που θα προτιμούσατε. Η πρόκληση είναι να παρακολουθείτε τις συνεπαγωγές με ακρίβεια. Λέξεις όπως «αν», «μόνο», «κάθε» και «τουλάχιστον» κάνουν πραγματική μαθηματική δουλειά. Αν αντικαταστήσετε μία από αυτές χωρίς προσοχή, μπορεί να λύνετε άλλο πρόβλημα. Η πρώτη πειθαρχία της παραγωγικής σκέψης είναι επομένως απλή: κάντε τους κανόνες ρητούς πριν προσπαθήσετε να είστε έξυπνοι.
Ποιες κάρτες πρέπει να γυρίσετε;
Τέσσερις κάρτες βρίσκονται πάνω σε ένα τραπέζι και δείχνουν A, D, 4 και 7. Κάθε κάρτα έχει ένα γράμμα στη μία όψη και έναν αριθμό στην άλλη. Θέλετε να ελέγξετε τον κανόνα: «Αν μια κάρτα έχει φωνήεν στη μία όψη, τότε έχει άρτιο αριθμό στην άλλη». Ποιες κάρτες πρέπει να γυρίσετε για να ελέγξετε αν ο κανόνας ισχύει για αυτές τις τέσσερις κάρτες; Επιλέξτε το μικρότερο επαρκές σύνολο.
Πρόκειται για παραλλαγή της εργασίας επιλογής που συνδέεται με τον ψυχολόγο Peter Wason. Η δυσκολία της οφείλεται λιγότερο στην αριθμητική και περισσότερο στην τάση μας να αναζητούμε παραδείγματα που συμφωνούν με έναν κανόνα. Ένας σωστός έλεγχος αναζητά επίσης το ένα είδος παραδείγματος που θα μπορούσε να τον ανατρέψει.
Επιλέξτε τον έλεγχό σας
Υπόδειξη: αναζητήστε παράβαση
Ο κανόνας παραβιάζεται μόνο όταν ένα φωνήεν συνδυάζεται με περιττό αριθμό. Δεν λέει τίποτα για το τι πρέπει να υπάρχει πίσω από ένα σύμφωνο.
Εμφανίστε την πλήρη εξήγηση
Γυρίστε το A για να ελέγξετε ότι ο αριθμός του είναι άρτιος. Γυρίστε το 7 για να ελέγξετε ότι το γράμμα του δεν είναι φωνήεν. Το D δεν μπορεί να παραβιάσει τον κανόνα, όποιος κι αν είναι ο αριθμός του. Το 4 μπορεί να έχει πίσω του είτε φωνήεν είτε σύμφωνο, επειδή ο κανόνας δεν λέει ότι κάθε άρτιος αριθμός πρέπει να συνοδεύεται από φωνήεν.
Συμβολικά, το «αν P, τότε Q» αποκλείει τον συνδυασμό του P με το μη-Q. Δεν ισχυρίζεται το «αν Q, τότε P». Αυτός ο αντίστροφος ισχυρισμός είναι το αντίστροφο και χρειάζεται τη δική του τεκμηρίωση. Το αντιθετοαντιστροφό, «αν μη-Q, τότε μη-P», είναι λογικά ισοδύναμο με την αρχική πρόταση. Η διατήρηση του αντιστρόφου και του αντιθετοαντιστρόφου χωριστά αποτρέπει μια εκπληκτικά μεγάλη οικογένεια λαθών.
Αληθολόγοι, ψεύτες και χρήσιμες υποθέσεις
Ας υποθέσουμε ότι δύο κάτοικοι, η Ada και ο Ben, ανήκουν ο καθένας σε έναν από δύο τύπους. Οι αληθολόγοι λένε μόνο αληθείς προτάσεις· οι ψεύτες λένε μόνο ψευδείς. Η Ada λέει: «Είμαστε και οι δύο ψεύτες». Τι μπορείτε να συμπεράνετε; Αντιμετωπίστε την πρόταση ως πλήρη δήλωση για αυτά τα δύο πρόσωπα και υποθέστε ότι οι κανόνες για τους τύπους ισχύουν χωρίς εξαιρέσεις.
Αν η Ada ήταν αληθολόγος, η δήλωσή της θα ήταν αληθής, άρα θα ήταν ψεύτρα. Αυτή η αντίφαση αποκλείει την περίπτωση του αληθολόγου. Άρα η Ada είναι ψεύτρα και η δήλωσή της είναι ψευδής. Επειδή είναι ήδη ψεύτρα, ο ισχυρισμός ότι και οι δύο είναι ψεύτες μπορεί να είναι ψευδής μόνο αν ο Ben είναι αληθολόγος. Καμία εικασία για χαρακτήρες, κίνητρα ή ευγένεια στη συζήτηση δεν έχει σημασία.
Προσέξτε ότι αυτό το συμπέρασμα εξαρτάται από τους τεχνητούς κανόνες. Στην καθημερινή ζωή, ένας άνθρωπος που λέει ψέματα μία φορά δεν είναι κάποιος του οποίου κάθε πιθανή πρόταση είναι ψευδής. Οι λογικοί γρίφοι δημιουργούν απλοποιημένους κόσμους ώστε οι συνεπαγωγές να γίνονται ακριβείς. Το βιβλίο του Raymond Smullyan What Is the Name of This Book? είναι μια διάσημη εξερεύνηση αυτού του είδους συλλογισμού, με πολύ πιο περίπλοκες αυτοαναφορές.
Το να γνωρίζεις δεν σημαίνει πάντα να γνωρίζετε από κοινού
Μερικά από τα δυσκολότερα προβλήματα συλλογισμού αφορούν πληροφορίες και όχι αληθοτιμές. Ένα γεγονός μπορεί να είναι αληθές, γνωστό σε όλους, και παρ' όλα αυτά να μην αποτελεί κοινή γνώση. Η κοινή γνώση σημαίνει ότι όλοι το γνωρίζουν, ότι όλοι γνωρίζουν πως όλοι το γνωρίζουν, και ότι το μοτίβο αυτό συνεχίζεται σε κάθε πεπερασμένο επίπεδο. Οι δημόσιες ανακοινώσεις μπορεί επομένως να έχουν σημασία ακόμη και όταν φαίνεται ότι δεν προσθέτουν νέο πραγματικό περιεχόμενο.
Θεωρήστε έναν απλοποιημένο γρίφο με καπέλα για δύο άτομα. Και τα δύο άτομα βλέπουν το καπέλο του άλλου, αλλά όχι το δικό τους. Τα καπέλα είναι είτε κόκκινα είτε λευκά. Και τα δύο καπέλα είναι στην πραγματικότητα κόκκινα. Οι κανόνες, η τέλεια λογική ικανότητα του καθενός και οι δημόσιοι γύροι απαντήσεων είναι κοινή γνώση. Ένας εκφωνητής ανακοινώνει δημόσια: «Τουλάχιστον ένα καπέλο είναι κόκκινο». Στον πρώτο γύρο, ρωτάται το καθένα αν γνωρίζει το δικό του χρώμα· και τα δύο απαντούν όχι.
Στον επόμενο γύρο, ο καθένας μπορεί να συμπεράνει ότι το δικό του καπέλο είναι κόκκινο. Αν το καπέλο του ενός ήταν λευκό, το άλλο άτομο θα είχε δει λευκό και, χρησιμοποιώντας την ανακοίνωση, θα αναγνώριζε αμέσως το δικό του καπέλο ως κόκκινο. Η αβεβαιότητα του πρώτου γύρου αποκλείει αυτή την περίπτωση. Η ανακοίνωση και οι δημόσιες απαντήσεις δημιουργούν μια κοινή δομή συλλογισμού. Ο χρονισμός και η δημόσια πρόσβαση είναι ουσιώδη· αν αφαιρεθούν, το συμπέρασμα δεν ακολουθεί κατ' ανάγκην.
Μια πρακτική λίστα ελέγχου παραγωγικής σκέψης
Μεταφράστε μια σύνθετη πρόταση σε σύντομο κανόνα. Αναρωτηθείτε τι θα την καθιστούσε ψευδή. Διαχωρίστε τις περιπτώσεις που δεν μπορούν να ισχύουν μαζί. Όπου είναι δυνατόν, κατασκευάστε έναν μικρό πίνακα υποψήφιων κόσμων και διαγράψτε μόνο όσους αντιφάσκουν άμεσα με τα στοιχεία. Αν μείνουν δύο κόσμοι, δεν έχετε ακόμη αποδείξει μοναδική απάντηση, όσο ελκυστικός κι αν σας φαίνεται ένας από αυτούς.
Το βιβλίο του George Pólya Πώς να λύσετε ένα πρόβλημα προσφέρει μια γενικά χρήσιμη στάση απέναντι στην επίλυση προβλημάτων: κατανοήστε το πρόβλημα, σχεδιάστε ένα σχέδιο, εκτελέστε το και ανατρέξτε στο αποτέλεσμα. Στη λογική, το βήμα της επανεξέτασης περιλαμβάνει τον έλεγχο αν υποθέσατε κατά λάθος το ίδιο το συμπέρασμα. Μια έγκυρη απόδειξη πρέπει να αντέχει σε έναν επικριτικό αναγνώστη που δέχεται τους δηλωμένους κανόνες αλλά δεν μοιράζεται καμία από τις διαισθήσεις σας.
Αυτή είναι η βαθύτερη ανταμοιβή ενός καλού προβλήματος συλλογισμού. Δεν εκπαιδεύετε τον εαυτό σας να δυσπιστεί σε κάθε πρώτη σκέψη. Μαθαίνετε να αναρωτιέστε ποια στοιχεία θα διέκριναν μια πιθανή απάντηση από μια αναγκαία.