En god logikkgåte gir deg nok informasjon til å komme fram til en konklusjon, men ikke nødvendigvis i den formen du helst ville hatt. Utfordringen er å følge implikasjonene nøyaktig. Ord som «hvis», «bare», «hver» og «minst» gjør reell matematisk arbeid. Bytter du ut ett av dem uten å tenke deg om, kan du ende opp med å løse et annet problem. Den første disiplinen i deduksjon er derfor enkel: gjør reglene eksplisitte før du prøver å være smart.
Hvilke kort må du snu?
Fire kort ligger på et bord og viser A, D, 4 og 7. Hvert kort har en bokstav på den ene siden og et tall på den andre. Du vil teste denne regelen: «Hvis et kort har en vokal på den ene siden, så har det et partall på den andre.» Hvilke kort må du snu for å sjekke om regelen holder for de fire kortene? Velg den minste nødvendige mengden.
Dette er en variant av utvalgsoppgaven knyttet til psykologen Peter Wason. Vanskeligheten ligger mindre i regning enn i vår tendens til å lete etter eksempler som stemmer med en regel. En skikkelig test ser også etter den ene typen eksempel som kan motbevise den.
Velg hva du vil undersøke
Hint: se etter et brudd
Regelen brytes bare når en vokal er sammen med et oddetall. Den sier ingenting om hva som må stå bak en konsonant.
Vis hele forklaringen
Snu A for å sjekke at tallet på baksiden er et partall. Snu 7 for å sjekke at bokstaven ikke er en vokal. D kan ikke bryte regelen, uansett hvilket tall den har. Et 4 kan ha enten en vokal eller en konsonant på baksiden, fordi regelen ikke sier at hvert partall må ha en vokal.
Symbolsk sett utelukker «hvis P, så Q» kombinasjonen av P og ikke-Q. Det hevder ikke «hvis Q, så P». Det omvendte utsagnet er konversen, og det trenger sin egen begrunnelse. Kontrapositiven, «hvis ikke-Q, så ikke-P», er logisk ekvivalent med det opprinnelige utsagnet. Å holde konversen og kontrapositiven adskilt forhindrer en overraskende stor familie av feil.
Sannsigere, løgnere og nyttige antakelser
Anta at to innbyggere, Ada og Ben, hver tilhører én av to typer. Sannsigere sier bare sanne utsagn; løgnere sier bare usanne utsagn. Ada sier: «Vi er begge løgnere.» Hva kan du konkludere? Behandle setningen som et komplett utsagn om disse to personene, og anta at typereglene gjelder uten unntak.
Hvis Ada var en sannsiger, ville utsagnet hennes være sant, og da ville hun vært en løgner. Den motsigelsen utelukker sannsiger-tilfellet. Ada er derfor en løgner, og utsagnet hennes er usant. Siden hun allerede er en løgner, kan påstanden om at begge er løgnere bare være usann dersom Ben er en sannsiger. Gjetninger om personlighet, motiver eller høflighet i samtale er ikke relevante.
Legg merke til at denne konklusjonen avhenger av de kunstige reglene. I hverdagen er en person som lyver én gang ikke en person der hvert eneste mulige utsagn er usant. Logikkgåter bygger forenklede verdener slik at implikasjonene blir eksakte. Raymond Smullyans What Is the Name of This Book? er en berømt utforskning av denne typen resonnement, inkludert mye mer intrikat selvreferanse.
Å vite er ikke alltid å vite sammen
Noen av de vanskeligste resonnementsoppgavene handler om informasjon snarere enn sannhetsverdier. Et faktum kan være sant, kjent av alle, og likevel ikke være felles kunnskap. Felles kunnskap betyr at alle vet det, alle vet at alle vet det, og at mønsteret fortsetter gjennom hvert endelig nivå. Offentlige kunngjøringer kan derfor ha betydning selv når de ser ut til å tilføre ingen nytt faktisk innhold.
Vurder et forenklet hattespill for to personer. Begge kan se den andres hatt, men ikke sin egen. Hattene er enten røde eller hvite. Begge hattene er faktisk røde. Reglene, hver persons perfekte resonneringsevne og de offentlige svarrundene er felles kunnskap. En kunngjører sier offentlig: «Minst én hatt er rød.» I første runde spørres hver person om de vet hvilken farge deres egen hatt har; begge svarer nei.
I neste runde kan hver av dem utlede at sin egen hatt er rød. Hvis den ene personens hatt var hvit, ville den andre ha sett hvitt og brukt kunngjøringen til umiddelbart å fastslå at sin egen hatt er rød. Usikkerheten i første runde utelukker dette. Kunngjøringen og de offentlige svarene skaper en felles resonneringsstruktur. Tidspunkt og offentlig tilgang er avgjørende; fjern dem, og konklusjonen trenger ikke å følge.
En praktisk sjekkliste for deduksjon
Oversett en komplisert setning til en kort regel. Spør hva som ville gjøre den usann. Skill ut tilfeller som ikke kan inntreffe samtidig. Når det er mulig, lag en liten tabell over mulige verdener, og stryk bare de som direkte motsies av opplysningene. Hvis to verdener fortsatt står igjen, har du ikke bevist et entydig svar, uansett hvor tiltalende én av dem føles.
George Pólyas How to Solve It gir en bredt nyttig holdning til problemløsning: forstå problemet, lag en plan, gjennomfør den og se tilbake. I logikk omfatter tilbakeblikket også en sjekk på om du utilsiktet har forutsatt konklusjonen. En gyldig deduksjon bør tåle en skeptisk leser som godtar de oppgitte reglene, men ikke deler noen av intuisjonene dine.
Det er den dypere belønningen ved en god resonneringsgåte. Du trener ikke deg selv til å mistro alle førstetanker. Du lærer å spørre hvilke opplysninger som skiller et plausibelt svar fra et nødvendig svar.