A számrejtvények a kísérletezést jutalmazzák, de a kísérletezés csak a kezdet. Néhány sikeres példa sejtést sugall, de nem bizonyítja, hogy a következő példának is működnie kell. A legkielégítőbb megoldások olyan szerkezetet találnak, amely minden megengedett lépés után megmarad. A matematikusok az ilyen megőrzött tulajdonságot invariánsnak nevezik. Néha a hasznos szerkezet még egyszerűbb: egy párosítás, egy maradék vagy az, ahogyan a számjegyek kódolják a helyiértéket.
Száz szekrény, egy döntő megfigyelés
Képzelj el 100 zárt szekrényt, amelyek 1-től 100-ig vannak számozva. Az első körben minden szekrényt átállítasz. A második körben minden második szekrény állapotát váltod. A harmadik körben minden harmadik változik meg. Folytasd a 100. körig. Az átállítás azt jelenti, hogy egy zárt szekrényt kinyitsz, vagy egy nyitottat bezársz. Hány szekrény van nyitva a végén?
Ne szimuláld azonnal mind a 100 kört. Figyelj a 12-es szekrényre. Az 1., 2., 3., 4., 6. és 12. körben változik meg: pontosan a 12 pozitív osztóin. Hat változás után visszakerül eredeti, zárt állapotába. A rejtvény tehát nem valójában az ajtókról szól. Azt kérdezi, melyik pozitív egészeknek van páratlan számú pozitív osztójuk.
Te következel
Tipp: párosítsd az osztókat
Az n minden d osztójához rendeld hozzá az n ÷ d számot. Mikor lehet a pár két tagja ugyanaz a szám?
Bizonyítás megtekintése
Az osztók általában párokban fordulnak elő. Egy teljes négyzetnek van egy párosítatlan osztója: a négyzetgyöke. Csak a teljes négyzeteknek van páratlan számú osztójuk, ezért az 1., 4., 9., 16., 25., 36., 49., 64., 81. és 100. szekrény marad nyitva.
Ez az érvelés extra nyilvántartás nélkül általánosítható. N szekrény esetén a nyitva maradók száma a √N-nél nem nagyobb legnagyobb egész szám. Ez az általános állítás erősebb, mint tíz sikeres kimenetel felsorolása. Egyúttal feltárja a lényeges feltevéseket is: minden szekrény zárva indul, minden felsorolt látogatás pontosan egyszer történik, és minden látogatás átfordítja az állapotot, nem pedig egyszerűen kinyitja.
Az 1089-es trükk misztikum nélkül
Válasszon ki egy háromjegyű számot, amelynek első és utolsó számjegye legalább kettővel különbözik. Fordítsa meg, majd vonja ki a kisebbet a nagyobbból. Az eredményt kezelje három helyiértékű számjegyként, fordítsa meg, és adja hozzá. Az eredmény 1089. Egy színpadi előadó ezt gondolatolvasásként mutathatja be, a helyiértékes algebra azonban érdekesebb magyarázatot ad.
Írja fel a nagyobb kiindulási számot 100a + 10b + c alakban, ahol a > c. Ha kivonja a megfordítottját, 99(a − c) marad. A középső b számjegy teljesen eltűnik. Legyen d = a − c. A megadott szabály szerint d a 2 és 9 közötti számok egyike. A 99d három számjegye d − 1, majd 9, majd 10 − d. Ezeket a számjegyeket megfordítva és összeadva 100 × 9 + 180 + 9 adódik, vagyis 1089.
A feltétel számít. Ha a szélső számjegyek megegyeznek, a kivonás eredménye nulla. Ha egyel különböznek, a különbség 99, és a trükk megköveteli, hogy megfordítás előtt 099-ként írjuk fel. Egy gondos megoldás ezeket a konvenciókat kimondja, nem pedig egy ellenpélda után rejti el őket. Ez hasznos szokás minden olyan feladatnál, ahol absztrakt egészek helyett számjegyek szerepelnek.
Maradékok használata a keresés szűkítésére
A moduláris számolás azt követi nyomon, mi marad az osztás után. Az óralapon tizenkét órával való előrelépés megváltoztatja az eltelt időt, de a kijelzett órát nem. Ugyanebben a szellemben egy egész szám utolsó számjegye megmondja, mi a maradéka modulo 10. A nyelvezet fejlettnek tűnhet, de az alapművelet egyszerűen az, hogy elfelejtjük azt az információt, amelyre a kérdésnek nincs szüksége.
Például lehet-e egy egész szám négyzete 2-re végződő? Ellenőrizze az eredeti egész szám lehetséges tíz utolsó számjegyét, a 0-tól a 9-ig. Ezek négyzetei 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 és 1 végződésűek. Egyik sem végződik 2-re. Ez a véges ellenőrzés bizonyítás, mert minden egész szám e tíz maradékosztály valamelyikébe tartozik. Ez nem azonos az első tíz pozitív egész szám tesztelésével abban a reményben, hogy a minta folytatódik.
Euklidész Elements című műve történeti alapot ad az oszthatósági érvekhez, míg G. H. Hardy és E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers című könyve sokkal messzebbre viszi a témát. Játékos felfedezésekhez Martin Gardner matematikai írásai jó hidat képeznek a játékos példák és a szigorú kérdések között. Ezek olvasási javaslatok, nem egy hivatalos nehézségi besorolás forrásai.
Egy megismételhető számrejtvény-rutin
Kezdje egy kis példával, és jegyezze fel, mi változik valójában. Ezután kérdezze meg, hogy a paritás, egy maradék, egy összeg vagy egy osztók száma szabályozza-e a kimenetelt. A megfigyeléseket csak akkor fordítsa szimbólumokra, ha ez világosabbá teszi a szerkezetet. Végül vizsgálja meg a határeseteket: a nulla, az ismétlődő számjegyek, a negatív értékek vagy egy hiányzó művelet érvénytelenné tehet egy egyébként vonzó állítást.
Ha egy számszerű minta elkerülhetetlennek tűnik, próbálja megdönteni, mielőtt sikert hirdetne. Egyetlen ellenpélda megcáfolhat egy általános állítást. Ha nem jelenik meg ellenpélda, magyarázza meg, miért fedik le az Ön által vizsgált esetek az összes lehetőséget. Ez az elmozdulás, a „folyton ez történik” állítástól a „másként nem is történhet” állításig, az a pont, ahol egy számtrükkből matematika lesz.