Zahlenrätsel belohnen Experimentieren, doch Experimentieren ist nur der Anfang. Einige erfolgreiche Beispiele legen eine Vermutung nahe; sie beweisen nicht, dass das nächste Beispiel ebenfalls funktionieren muss. Die befriedigendsten Lösungen erkennen eine Struktur, die jeden erlaubten Schritt übersteht. Mathematiker nennen eine solche erhaltene Eigenschaft eine Invariante. Manchmal ist die nützliche Struktur sogar noch einfacher: eine Paarbildung, ein Rest oder die Art, wie Ziffern den Stellenwert kodieren.
Hundert Schließfächer, eine entscheidende Beobachtung
Stellen Sie sich 100 geschlossene Schließfächer vor, nummeriert von 1 bis 100. Im ersten Durchgang betätigen Sie jedes Schließfach. Im zweiten Durchgang jedes zweite. Im dritten Durchgang ändert sich jedes dritte Schließfach. Setzen Sie dies bis zum 100. Durchgang fort. Betätigen bedeutet, ein geschlossenes Fach zu öffnen oder ein offenes zu schließen. Wie viele Schließfächer sind am Ende offen?
Simulieren Sie nicht sofort alle 100 Durchgänge. Konzentrieren Sie sich auf Fach 12. Es wird in den Durchgängen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 verändert, also genau bei den positiven Teilern von 12. Sechs Änderungen bringen es in seinen ursprünglichen geschlossenen Zustand zurück. Das Rätsel handelt also nicht wirklich von Türen. Es fragt, welche positiven ganzen Zahlen eine ungerade Anzahl positiver Teiler haben.
Sie sind am Zug
Hinweis: Teiler paaren
Ordnen Sie jedem Teiler d von n den Partner n ÷ d zu. Wann können die beiden Glieder eines Paares dieselbe Zahl sein?
Beweis anzeigen
Teiler treten normalerweise in verschiedenen Paaren auf. Eine Quadratzahl hat einen unpaarigen Teiler, nämlich ihre Quadratwurzel. Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern, daher bleiben die Schließfächer 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100 offen.
Dieses Argument lässt sich ohne zusätzlichen Buchungsaufwand verallgemeinern. Bei N Schließfächern ist die Anzahl der offen bleibenden Fächer die größte ganze Zahl, die nicht größer als √N ist. Diese allgemeine Aussage ist aussagekräftiger als eine Liste mit zehn erfolgreichen Ergebnissen. Sie macht außerdem die wesentlichen Annahmen sichtbar: Jedes Fach beginnt geschlossen, jeder aufgeführte Durchgang findet genau einmal statt, und jeder Besuch wechselt den Zustand, statt das Fach einfach zu öffnen.
Der 1089-Trick, ohne Mystik
Wählen Sie eine dreistellige Zahl, deren erste und letzte Ziffer sich um mindestens zwei unterscheiden. Kehren Sie sie um und subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren. Behandeln Sie das Ergebnis als drei Stellen stellenwertgerecht, kehren Sie es um und addieren Sie. Das Ergebnis ist 1089. Ein Bühnenkünstler kann dies als Gedankenlesen präsentieren; die Stellenwert-Algebra liefert jedoch eine interessantere Erklärung.
Schreiben Sie die größere Ausgangszahl als 100a + 10b + c, wobei a größer als c ist. Das Subtrahieren ihrer Umkehrzahl ergibt 99(a − c). Die mittlere Ziffer b fällt vollständig heraus. Setzen Sie d = a − c. Nach der angegebenen Regel ist d eine der Zahlen 2 bis 9. Die drei Ziffern von 99d sind d − 1, dann 9 und danach 10 − d. Kehrt man diese Ziffern um und addiert, ergibt sich 100 × 9 + 180 + 9, also 1089.
Die Einschränkung ist wichtig. Stimmen die äußeren Ziffern überein, ergibt die Subtraktion null. Unterscheiden sie sich um eins, ist die Differenz 99, und der Trick verlangt, sie vor dem Umkehren als 099 zu schreiben. Eine sorgfältige Lösung nennt diese Konventionen ausdrücklich, statt sie erst nach einem Gegenbeispiel zu verbergen. Das ist eine nützliche Gewohnheit, sobald ein Rätsel mit Ziffern statt mit abstrakten ganzen Zahlen arbeitet.
Mit Resten die Suche eingrenzen
Die Modularithmetik verfolgt, was nach einer Division übrig bleibt. Auf einer Uhr ändert das Addieren von zwölf Stunden zwar die verstrichene Zeit, nicht aber die angezeigte Stunde. Im gleichen Sinne verrät die letzte Ziffer einer ganzen Zahl ihren Rest modulo 10. Der Begriff klingt vielleicht fortgeschritten, doch der dahinterliegende Schritt besteht einfach darin, Informationen zu vergessen, die die Frage nicht benötigt.
Kann zum Beispiel das Quadrat einer ganzen Zahl auf 2 enden? Prüfen Sie die zehn möglichen letzten Ziffern der ursprünglichen ganzen Zahl, von 0 bis 9. Ihre Quadrate enden auf 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 und 1. Keine endet auf 2. Diese endliche Prüfung ist ein Beweis, weil jede ganze Zahl zu einer dieser zehn Restklassen gehört. Sie entspricht nicht dem Testen der ersten zehn positiven ganzen Zahlen in der Hoffnung, dass sich ein Muster fortsetzt.
Euklids Elemente bieten eine historische Grundlage für Teilbarkeitsbeweise, während G. H. Hardy und E. M. Wright in An Introduction to the Theory of Numbers das Thema deutlich weiterführen. Für unterhaltsame Erkundungen ist Martin Gardners mathematische Essayistik eine nützliche Brücke zwischen spielerischen Beispielen und strengen Fragen. Dies sind Lesetipps, keine Quellen für eine offizielle Schwierigkeitseinstufung.
Eine wiederholbare Routine für Zahlenrätsel
Beginnen Sie mit einem kleinen Beispiel und notieren Sie, was sich tatsächlich verändert. Fragen Sie dann, ob Parität, ein Rest, eine Summe oder eine Teileranzahl das Ergebnis bestimmt. Übersetzen Sie Beobachtungen nur dann in Symbole, wenn dadurch die Struktur klarer wird. Prüfen Sie zuletzt die Grenzfälle: Null, wiederholte Ziffern, negative Werte oder eine fehlende Operation können eine ansonsten reizvolle Behauptung ungültig machen.
Wenn ein Zahlenmuster unausweichlich erscheint, versuchen Sie, es zu widerlegen, bevor Sie einen Erfolg verkünden. Ein einziges Gegenbeispiel kann eine allgemeine Aussage widerlegen. Taucht kein Gegenbeispiel auf, erklären Sie, warum die von Ihnen betrachteten Fälle alle Möglichkeiten abdecken. Dieser Wechsel – von „Es passiert immer wieder“ zu „Es kann nicht anders sein“ – ist der Punkt, an dem aus einem Zahlentrick Mathematik wird.